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    如图1，点A为抛物线C1：y=
    1
    2
    x2-2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C
    （1）求点C的坐标；
    （2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
    （3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．
    （1）∵当x=0时，y=-2；
    ∴A（0，-2）．
    设直线AB的解析式为y=kx+b，则：
    -2=b
    0=k+b
    ，
    解得
    k=2
    b=-2

    ∴直线AB解析式为y=2x-2．
    ∵点C为直线y=2x-2与抛物线y=
    1
    2
    x2-2的交点，则点C的横、纵坐标满足：
    y=
    1
    2
    x2-2
    y=2x-2
    ，
    解得
    x1=4
    y1=6
    、
    x2=0
    y2=-2
    （舍）
    ∴点C的坐标为（4，6）．

    （2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D、E两点．
    ∴yD=4，yE=
    5
    2
    ，
    ∴DE=
    3
    2
    ．
    ∵FG：DE=4：3，
    ∴FG=2．
    ∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．
    ∴yF=2a-2，yG=
    1
    2
    a2-2
    ∴FG=|2a-
    1
    2
    a2|=2，
    解得：a1=2，a2=2+2
    		2
    ，a3=2-2
    		2
    ．

    （3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；

    设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=
    1
    2
    x2-2-m；
    ∴0=
    1
    2
    t2-2-m，
    ∴-2-m=-
    1
    2
    t2．
    ∴y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    t2，
    ∴点P坐标为（0，-
    1
    2
    t2）．
    ∵点N是直线AB与抛物线y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：
    y=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    t2
    y=2x-2
    ，
    解得
    x1=2-t
    y1=2-2t
    或
    x2=2+t
    y2=2+2t
    （舍）．
    ∴N（2-t，2-2t）．
    NQ=2-2t，MQ=2-2t，
    ∴MQ=NQ，
    ∴∠MNQ=45°．
    ∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，
    ∴MO=OT，HT=HN
    ∴OT=-t，NT=
    		2
    （2-t），PT=-t+
    1
    2
    t2．
    ∵PN平分∠MNQ，
    ∴∠MNP=∠PNQ，
    ∵NQ∥PT，
    ∴∠NPT=∠PNQ，
    ∴∠MNP=∠NPT，
    ∴PT=NT，
    ∴-t+
    1
    2
    t2=
    		2
    （2-t），
    ∴t1=-2
    		2
    ，t2=2（舍）
    -2-m=-
    1
    2
    t2=-
    1
    2
    （-2
    		2
    ）2，
    ∴m=2．
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，直角的顶点B在第一象限内，已知点A（10，0），△OAB的面积为20．
    （1）求B点的坐标；
    （2）求过O、B、A三点抛物线的解析式；
    （3）判断该抛物线的顶点P与△OAB的外接圆的位置关系，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=-
    2
    3
    x2+bx+5    的图象与x轴、y轴的公共点分别为A（5、0）、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）求∠BAC的正切值；
    （3）如果点D在这个二次函数的图象上，且∠DAC=45°，求点D的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知二次函数y=-
    1
    2
    x2    +bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=
    k
    x
    相交于点A，B．已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
    （1）求双曲线和抛物线的解析式；
    （2）计算△ABC的面积；
    （3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D．
    （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
    （2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；
    （3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的
    1
    3
    ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥；
    （3）若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
    第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
    第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；
    第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

    探究：
    （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
    （2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
    （3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）
    ①问：EF与抛物线y=-
    1
    8
    x2     有几个公共点？
    ②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求
    x
    y
     的值．

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