如图1.在等腰直角△ABC中.AB=AC.∠BAC=90°.将一块三角板中含45°角的顶点放在A上.从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α.其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D.直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一:在线段BC上取一点M.连接AM.旋转中发现:若AD平分∠BAM.则AE也平分∠MAC．请说明理由,操作二:当0°＜α≤45°时.在旋转中还� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．
操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；
操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．

分析（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．

解答（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）证明：如图2，连接EF．
由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

点评本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．

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