Question

20．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB=8时，求sinB．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，从而得$\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}$，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC；
（2）由△ADC∽△BAC得$\frac{AD}{BA}=\frac{AC}{BC}$，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE=$\frac{1}{2}$CD=1，由勾股定理求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得．

解答 解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，

∵$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{\frac{1}{2}CD•AE}{\frac{1}{2}BD•AE}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=3CD=6，
∴CB=CD+BD=8，
则$\frac{CA}{CB}=\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CD}{CA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}$，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC；

（2）∵△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AD}{BA}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{AD}{8}=\frac{4}{8}$，
∴AD=AC=4，
∵AE⊥BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴sinB=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．