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11.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC边的中点,连接AD,过点A作AE∥BC,且AE=CD,连接EC.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)如果AC=a,tan∠ABC=$\frac{1}{3}$,写出求菱形ADCE的面积的思路.

分析 (1)先证明四边形ADCE是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线性质得出AD=CD,即可得出结论;
(2)由中线的性质得出△ABC的面积=2△ACD的面积,由菱形的性质得出菱形ADCE的面积=2△ACD的面积,得出菱形ADCE的面积=△ABC的面积,由三角函数得出AB=3a,即可求出答案.

解答 (1)证明:∵AE∥BC,AE=CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC边的中点,
∴AD=BD=CD.
∴平行四边形ADCE是菱形.
(2)解:∵D是BC边的中点,
∴△ABC的面积=2△ACD的面积,
∵四边形ADCE是菱形,
∴菱形ADCE的面积=2△ACD的面积,
∴菱形ADCE的面积=△ABC的面积,
∵∠BAC=90°,AC=a,tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{3}$,
∴AB=3AC=3a,
∴菱形ADCE的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{3}{2}$a2

点评 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、三角函数的运用;熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键.

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序号1234
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序号123456789101112131415
身高148149150152152160160165166167168169170171175
表3 小芳抽样调查初二年级15名女同学身高统计表(单位:cm)
序号123456789101112131415
身高145160150152160154160166167168160169173174175
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