【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=4,P是BC边上一动点(不含B,C两点),将△ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处,在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PE交CD于点N,连接MA,NA.
(1)发现:
△CMP和△BPA是否相似,若相似给出证明,若不相似说明理由;
(2)思考:
线段AM是否存在最小值?若存在求出这个最小值,若不存在,说明理由;
(3)探究:
当△ABP≌△ADN时,求BP的值是多少?
【答案】
(1)
∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN,∠CPN+∠NPB=180°,
∴2∠NPM+2∠APE=180°,
∴∠MPN+∠APE=90°,
∴∠APM=90°,
∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,
∴∠CPM=∠PAB.
又∵∠C=∠B=90°,
∴△CMP∽△BPA.
(2)
设PB=x,则CP=4﹣x.
∵△CMP∽△BPA,
∴ ,
∴CM= x(4﹣x).
如图1所示:作MG⊥AB于G.
∵AM= = ,
∴AG最小值时,AM最小.
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x(4﹣x)= (x﹣2)2+3,
∴x=2时,AG最小值=3.
∴AM的最小值= =5.
(3)
∵△ABP≌△ADN,
∴∠PAB=∠DAN,AP=AN,
又∵∠PAB=∠EAP,∠AEP=∠B=90°,
∴∠EAP=∠EAN,
∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°.
如图2:在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z.
∴∠KPA=∠KAP=22.5°,
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°,
∴∠BPK=∠BKP=45°,
∴PB=BK=z,AK=PK= z,
∴z+ z=4,
∴z=4 ﹣4.
∴PB=4 ﹣4.
【解析】发现:先证明∠MPA=90°,然后依据同角的余角相等可证明∠CPM=∠PAB,结合条件∠C=∠B=90°,可证明量三角形相似;
思考:设PB=x,则CP=4﹣x,依据相似三角形的性质可得到CM= x(4﹣x),作MG⊥AB于G,依据勾股定理可得到AM= ,则AG最小值时,AM最小,然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG与x的函数关系,依据二次函数的性质可求得当x=2时,AG最小值=3;
探究:依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°,在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z.然后可证明△BPK为等腰直角三角形,故此得到PB=BK=z,AK=PK= z,最后依据AK+BK=4列出关于z的方程求解即可.
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题.
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【题目】小明在某商店购买商品A、B共两次,这两次购买商品A、B的数量和费用如表:
购买商品A的数量(个) | 购买商品B的数量(个) | 购买总费用(元) | |
第一次购物 | 4 | 3 | 93 |
第二次购物 | 6 | 6 | 162 |
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B,则她要花费( )
A.64元
B.65元
C.66元
D.67元
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【题目】某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划,对20位销售员本月的销售量进行了统计,绘制成如图所示的统计图,则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是( )
A.19,20,14
B.19,20,20
C.18.4,20,20
D.18.4,25,20
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C,点P(3n﹣4,1)是该反比例函数图象上的一点,且∠PBC=∠ABC,求反比例函数和一次函数的表达式.
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【题目】如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论: ①四边形CFHE是菱形;②线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
③EC平分∠DCH;④当点H与点A重合时,EF=2
以上结论中,你认为正确的有 . (填序号)
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=5cm,AC=4cm.D是弧BC上的一个动点(含端点B,不含端点C),连接AD,过点C作CE⊥AD于E,连接BE,在点D移动的过程中,BE的取值范围是 .
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