Question

【题目】(1)（探究）如图,在等边△ABC中,AB=4cm,点M为边BC的中点,点N为边AB上的任意一点(不与点A,B重合).若点B关于直线MN的对称点B′恰好落在等边△ABC的边上，求BN的长．

(2)（拓展）如图，在△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC边上的中线,过点D作DE⊥AB于点E,且sin∠DAB= ,DB=3.求AB的长．

Answer 1

【答案】探究1或2.；拓展7.

【解析】

（1）如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，于是得到MN⊥AB，BN=BN′，根据等边三角形的性质得到=AC=BC，∠ABC=60°，根据线段中点的定义得到BN=BM=1，如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．

（2）由∠ABC=45°，过点D作DE⊥AB于点E，可知△BED是等腰直角三角形，由此可求得BE的长度，再由sin∠DAB=，可求得AD与AE的长度，进而求出AB的长度．

（1）如图1，当点B关于直线MN的对称点B′恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，

则MN⊥AB,BN=BN′，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC,∠ABC=60°，

∵点M为边BC的中点，

∴BM=BC=AB=2，

∴BN=BM=1，

如图2，当点B关于直线MN的对称点B′恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，

则MN⊥BB′,四边形BMB′N是菱形，

∵∠ABC=60°，点M为边BC的中点，

∴BN=BM=BC=AB=2，

故答案为：1或2.

（2）∵∠ABC=45°，过点D作DE⊥AB于点E

∴△BED是等腰直角三角形，

∴BE=ED=DB=3，

∵sin∠DAB=，

∴，

∴AD=5，

∴由勾股定理可求得：AE=4，

∴AB=AE+BE=7.