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4.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当△ECF为直角三角形时,AP的长为$\frac{9}{4}$或1.

分析 分两种情况进行讨论:当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形;当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形,分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可.

解答 解:如图所示,当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形,

由折叠可得,∠PFE=∠A=90°,AE=FE=DE,
∴∠CFP=180°,即点P,F,C在一条直线上,
在Rt△CDE和Rt△CFE中,
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{EF=ED}\end{array}\right.$,
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),
∴CF=CD=4,
设AP=FP=x,则BP=4-x,CP=x+4,
在Rt△BCP中,BP2+BC2=PC2,即(4-x)2+62=(x+4)2
解得x=$\frac{9}{4}$,即AP=$\frac{9}{4}$;

如图所示,当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形,

过F作FH⊥AB于H,作FQ⊥AD于Q,则∠FQE=∠D=90°,
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED,
∴∠FEQ=∠ECD,
∴△FEQ∽△ECD,
∴$\frac{FQ}{ED}$=$\frac{QE}{DC}$=$\frac{EF}{CE}$,即$\frac{FQ}{3}$=$\frac{QE}{4}$=$\frac{3}{5}$,
解得FQ=$\frac{9}{5}$,QE=$\frac{12}{5}$,
∴AQ=HF=$\frac{3}{5}$,AH=$\frac{9}{5}$,
设AP=FP=x,则HP=$\frac{9}{5}$-x,
∵Rt△PFH中,HP2+HF2=PF2,即($\frac{9}{5}$-x)2+($\frac{3}{5}$)2=x2
解得x=1,即AP=1.
综上所述,AP的长为1或$\frac{9}{4}$.

点评 本题考查了折叠问题,矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理.解题时注意:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.本题有两种情况,需要分类讨论,避免漏解.

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