【题目】在平面直角坐标系中,平移一条抛物线,如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点,且新抛物线的对称轴是y轴,那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”.
(1)已知原抛物线表达式是,求它的“影子抛物线”的表达式;
(2)已知原抛物线经过点(1,0),且它的“影子抛物线”的表达式是,求原抛物线的表达式;
(3)小明研究后提出:“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点,且它们有相同的“影子抛物线”,那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称.”你认为这个结论成立吗?请说明理由.
【答案】(1);(2)或;(3)结论成立,理由见解析
【解析】
(1)设影子抛物线表达式是,先求出原抛物线的顶点坐标,代入,可求解;
(2)设原抛物线表达式是,用待定系数法可求,,即可求解;
(3)分别求出两个抛物线的顶点坐标,即可求解.
解:(1)原抛物线表达式是
原抛物线顶点是,
设影子抛物线表达式是,
将代入,解得,
所以“影子抛物线”的表达式是;
(2)设原抛物线表达式是,
则原抛物线顶点是,
将代入,得①,
将代入,②,
由①、②解得,.
所以,原抛物线表达式是或;
(3)结论成立.
设影子抛物线表达式是.原抛物线于轴交点坐标为
则两条原抛物线可表示为与抛物线(其中、、、是常数,且,
由题意,可知两个抛物线的顶点分别是、
将、分别代入,
得
消去得,
,
,,
、关于轴对称.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.直径为5的⊙O分别与AC、BC相切于点F、E,与AB交于点M、N,过点O作OP⊥MN于P,则OP的长为( )
A.1B.C.D.
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【题目】如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为( )
A. B. C. D. 1
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【题目】如图,在淮河的右岸边有一高楼,左岸边有一坡度的山坡,点与点在同一水平面上,与在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼的高度,在坡底处测得楼顶的仰角为,然后沿坡面上行了米到达点处,此时在处测得楼顶的仰角为,求楼的高度.(结果保留整数)(参考数)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点且与反比例函数在第一象限的图象交于点轴于点.
根据函数图象,直接写出当反比例函数的函数值时,自变量的取值范围;
动点在轴上,轴交反比例函数的图象于点.若.求点的坐标.
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【题目】如图,已知点在的直径延长线上,点为上,过作,与的延长线相交于,为的切线,,.
(1)求证:;
(2)求的长;
(3)若的平分线与交于点,为的内心,求的长.
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【题目】某化肥厂2019年生产氮肥4000吨,现准备通过改进技术提升生产效率,计划到2021年生产氮肥4840吨.现技术攻关小组按要求给出甲、乙两种技术改进方案,其中运用甲方案能使每年产量增长的百分率相同,运用乙方案能使每年增长的产量相同.问运用哪一种方案能使2020年氮肥的产量更高?高多少?
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【题目】抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与直线y=kx+c(k≠0)相交于A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点,且抛物线与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求出C、D两点的坐标
(3)在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以CD为底边的等腰三角形,求出点P的坐标.
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【题目】如图,点O为原点,⊙O的半径为1,点A的坐标为(2,0),动点B在⊙O上,以AB为边作等边△ABC(顺时针),则线段OC的最小值为_____.
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