Question

【题目】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实根．

(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；

(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

【答案】（1）m的值为6;（2）17.

【解析】试题分析：

（1）由题意和根与系数的关系可得：x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5；由(x1－1)(x2－1)＝28，可得：x1x2－(x1＋x2)＝27；从而得到：m2＋5－2(m＋1)＝27，解方程求得m的值，再由“一元二次方程根的判别式”进行检验即可得到m的值；

（2）①当7为腰长时，则方程的两根中有一根为7，代入方程可解得m的值（此时m的取值需满足根的判别式△ ），将m的值代入原方程，可求得两根（此时两根和7需满足三角形三边之间的关系），从而可求得等腰三角形的周长；

②当7为底边时，则方程的两根相等，由此可得“根的判别式△=0”，从而可得关于m的方程，解方程求得m的值，代入原方程可求得方程的两根，再由三角形三边之间的关系检验即可.

试题解析：

(1)(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＝27，而x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，

∴m2＋5－2(m＋1)＝27，

解得m1＝6，m2＝－4，

又Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0时，m≥2，

∴m的值为6;　

(2) 若7为腰长，则方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一根为7，

即72－2×7×(m＋1)＋m2＋5＝0，

解得m1＝10，m2＝4，

当m＝10时，方程x2－22x＋105＝0，根为x1＝15，x2＝7，不符合题意，舍去．

当m＝4时，方程为x2－10x＋21＝0，根为x1＝3，x2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17　

若7为底边，则方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两等根，

∴Δ＝0，解得m＝2，此时方程为x2－6x＋9＝0，根为x1＝3，x2＝3，3＋3<7，不成立，

综上所述，三角形周长为17

点睛：（1）一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件是方程要有实数根，即“根的判别式△ ”；（2）涉及三角形边长的问题中，解得的结果都需要用“三角形三边之间的关系”检验，看三条线段能否围成三角形.

【题型】解答题
【结束】
21

【题目】如图，已知在△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若 AB=10，求AC的长．

Answer 1

【答案】5.

【解析】试题分析：

由点D是AB的中点，AB=10，易得AD=5；再由∠ACD=∠B，∠A=∠A，可证得：

△ACD∽△ABC，从而可得： ，由此得到：AC2=ADAB=50即可解得AC的值.

试题解析：

∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC．

∴，

∴AC2=ADAB.

∵D是AB的中点，AB=10，

∴AD=AB=5,

∴AC2=50．

解得AC=.