Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，0）、（-2，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．
（1）若在y轴上存在点M，连接MA、MB，使S_△ABM=S_□ABDC，求出点M的坐标；
（2）若点P在线段BD上运动，连接PC、PO，求S=S_△PCD+S_△POB的取值范围；
（3）若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意得C（0，2），于是得到结论；
（2）根据已知条件得到OB=2，求得OC=2，CD=3，点P在线段BD上运动，当点P运动到端点B时，△PCO的面积最小，为$\frac{1}{2}$•BO•CO=$\frac{1}{2}×$2×2=2，当点P运动到端点D时，△PCO的面积最大，为$\frac{1}{2}$•CD•OC=$\frac{1}{2}$×3×2=3，于是得到结论；
（3）分三种情况，根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，得C（0，2），
∴□ABDC的高为2，
若S_△ABM=S_□ABDC，则△ABM的高为4，
又∵点M是y轴上一点，
∴点M的坐标为（0，4）或（0，-4）；

（2）∵B（-2，0），O（0，0），
∴OB=2，
由题意，得C（0，2），D（-3，2），
∴OC=2，CD=3，
∴S_梯形OBDC=$\frac{OB+CD}{2}$×OC=$\frac{2+3}{2}$×2=5，
∵点P在线段BD上运动，
当点P运动到端点B时，△PCO的面积最小，为$\frac{1}{2}$•BO•CO=$\frac{1}{2}×$2×2=2，
当点P运动到端点D时，△PCO的面积最大，为$\frac{1}{2}$•CD•OC=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
∴S=S_△PCD+S_△POB=S_梯形OBDC-S_△PCO=5-S_△PCO，
∴S的最大值为5-2=3，最小值为5-3=2，
故S的取值范围是：2≤S≤3；

（3）如图：
当点P在线段BD上运动时，∠CPO=∠DCP+∠BOP；
当点P在射线BD上运动时，∠CPO=∠BOP-∠DCP；
当点P在射线DB上运动时，∠CPO=∠DCP-∠BOP．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平移的平移的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，平行四边形的面积计算方法，解本题的关键是作出图形，是一道比较简单的中考常考题．