Question

【题目】已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CECA．

（1）求证：AD＝DE；

（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AEAF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到，，得到，整理得到CE2＝AEEF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．

证明：（1）∵BC2＝CECA，

∴，又∠ECB＝∠BCA，

∴△BCE∽△ACB，

∴∠CBE＝∠CAB，

∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，

∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，

∴∠BEC＝∠DAE，

∵∠BEC＝∠DEA，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴AD＝DE；

（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，如图，

∵DF⊥AC，AC⊥BC，

∴∠DFE＝∠BCA＝90°，

∴DF∥BC，

∴，

∵DC∥AB，

∴，

∴，

∴CE2＝AEEF，

∵AD＝DE，DF⊥AC，

∴AF＝EF，

∴CE2＝AEAF．