Question

【题目】等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6，点D为边BC上一动点．将△ABD沿着AD对折到△AB′D．若△BB′D为直角三角形，则BD=___________

Answer 1

【答案】或

【解析】

首先作AE⊥BC，垂足为E，

解：如图所示，作AE⊥BC，垂足为E，根据等腰三角形的对称性，分两种情况：点D在点E左侧和右侧. ①当点D在点E左侧时，根据等腰三角形的性质，可得AE=3，BE=，∠ABD=30°，∠BAE=60°，又因为将△ABD沿着AD对折到△AB′D，可得AB=A B′，∠ABD=∠AB′D，∠BAD=∠B′AD=15°，又△BB′D为直角三角形，得出B′D∥AE，∠AB′D=∠B′AE=30°，进而得出∠DAE=45°，即DE=AE=3，即可求出BD=；②当点D在点E右侧时，同理可得BD=；综合起来，即得出BD.

根据等腰三角形的对称性，分两种情况：点D在点E左侧和右侧.

① 当点D在点E左侧时，

∵等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6，

∴AE=3，BE=，∠ABD=30°，∠BAE=60°，

又∵将△ABD沿着AD对折到△AB′D，

∴AB=A B′，∠ABD=∠AB′D，∠BAD=∠B′AD=15°，

又△BB′D为直角三角形，即B′D⊥BC，

∴B′D∥AE，

∴∠AB′D=∠B′AE=30°

∴∠DAE=45°，即DE=AE=3，

∴BD=

② 当点D在点E右侧时，

同理可得BD=.

综上所述，BD=或.