分析 (1)先由正方形的性质得出∠ABC=90°,再利用旋转的性质得到∠MBP=∠ABC=90°,即PB⊥BM;
(2)连结PM.设AP=k,则PB=2k.先证明△MBP为等腰直角三角形,那么PM=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$k,再求出∠APM=∠APB-∠BPM=90°,根据勾股定理得出AP2+PM2=AM2,即k2+(2$\sqrt{2}$k)2=32,解方程求出k=1,于是PM=2$\sqrt{2}$.
解答 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
∵将△PBC绕点B逆时针旋转至BC与AB重合,得到△ABM,
∴△PBC≌△MBA,∠MBP=∠ABC=90°,
∴PB⊥BM;
(2)解:如图,连结PM.
设AP=k,则PB=2k.
由旋转的性质可得,BP=BM=2k,∠MBP=90°,
∴△MBP为等腰直角三角形,PM=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$k,
∴∠BPM=45°,
∵∠APB=135°,
∴∠APM=∠APB-∠BPM=90°,
∴AP2+PM2=AM2,即k2+(2$\sqrt{2}$k)2=32,
解得k=1(负值舍去),
∴PM=2$\sqrt{2}$.
点评 此题考查了旋转的性质,正方形的性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定与性质等知识,根据旋转得出对应线段之间的等量关系,是解决问题的关键.
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A. | 2a+3 | B. | $\frac{a}{2}$-1 | C. | $\frac{1}{5}$a2-2a+10 | D. | $\frac{7{a}^{2}-100}{5}$ |
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