Question

如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点，∠ADE=60°，且DE与∠ACB的外角平分线CE相交于点E．
（1）证明△ADE是等边三角形，请写出证明过程；
（2）若D是BC的延长线上（C点除外）的任意一点，其他条件不变（如图2）那么△ADE是等边三角形是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过D作AC的平行线交AB于P．由题意知△ADP≌△DEC，可得AD=AE，则由“有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形”可证明△ADE是等边三角形；
（2）如图2，延长BA到P，使AP=CD，与（1）相同，可证△BDP是等边三角形，然后证明△APD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，AD=AE．则由“有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形”可证明△ADE是等边三角形．

解答：（1）证明：如图1，过D作AC的平行线交AB于P．
∴△BDP为等边三角形，BD=BP，
∴AP=CD，
∵∠BPD为△ADP的外角，
∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°
而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°
∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°
∴∠DAP=∠EDC，
在△ADP和△DEC中，

∠DAP=∠EDC AP=DC ∠APD=∠DCE

，
∴△ADP≌△DEC（ASA），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

（2）成立．理由如下：
如图2，延长BA到P，连接PD．使AP=CD，与（1）相同，可证△BDP是等边三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠PAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠PAD，
同理可证，△APD≌△DCE，
∴AD=DE．
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．