Question

20．抛物线y=x²-2mx-3m²（m＞0）与x轴交于A、B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M．
（1）当m=1时，求点A、B、M坐标；
（2）如图（1）的条件下，若P为抛物线上一个动点，以AP为斜边的等腰直角的直角顶点Q在对称轴上，（A、P、Q按顺时针方向排列），求P点坐标．
（3）如图2，若一次函数y=kx+b过B点且与抛物线只有一个公共点，平移直线y=kx+b，使其过抛物线的顶点M，与抛物线另一个交点为D，与x轴交于F点，当m变化时，求证：DF：MF是定值．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-2x-3=0可得A（-1，0），B（3，0）；把抛物线解析式配成顶点式可得到M点坐标；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，直线x=1交x轴于N，设P（t，t²-2t-3），Q（1，a）作PH⊥直线x=1于点H，如图，证明△PQH≌△QAN得到QH=AN，PH=QN，则t²-2t-3-a=2，1-t=a，于是可求出t₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，从而得到P点坐标；
（3）利用y=（x-m）²-4m²得到M（m，-4m²），再解方程x²-2mx-3m²=0得B（3m，0），把B（3m，0）代入y=kx+b得到直线y=kx+b的解析式表示为y=kx-3mk，接着利用方程x²-2mx-3m²=kx-3mk有相等的实数解得到△=（2m+k）²-4（-3m²+3mk）=0，所以k=4m，于是可设直线y=kx+b平移后的解析式为y=4mx+n，然后把M（m，-4m²）代入得-4m²=-4m²+n，解得n=-8m²，于是得到经过点D的直线解析式为y=4mx-8m²，再求出F（2m，0），通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx-3{m}^{2}}\\{y=4mx-8{m}^{2}}\end{array}\right.$得D（5m，12m²），作AG⊥x轴于E，MG∥x轴，它们相交于点G，如图2，利用平行线分线段成比例定理可得到$\frac{DF}{FM}$=$\frac{DE}{EG}$=3．

解答 （1）解：当m=1时，抛物线解析式为y=x²-2x-3，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0）；
∵y=（x-1）²-4，
∴M点坐标为（1，-4）；
（2）解：抛物线的对称轴为直线x=1，直线x=1交x轴于N，设P（t，t²-2t-3），Q（1，a）
作PH⊥直线x=1于点H，如图，
∵△APQ为等腰直角三角形，
∴PQ=AQ，∠AQP=90°，
∵∠AQH+∠AQN=90°，∠AQN+∠QAN=90°，
∴∠PQH=∠QAN，
在△PQH和△QAN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PHQ=∠ANQ}\\{∠PQH=∠QAN}\\{PQ=QA}\end{array}\right.$，
∴△PQH≌△QAN，
∴QH=AN，PH=QN，
即t²-2t-3-a=2，1-t=a，
∴t²-2t-3-（1-t）=2，
整理得t²-t-5=0，解得t₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，
∴P点坐标为（$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）；
（3）证明：y=x²-2mx-3m²=（x-m）²-4m²，则M（m，-4m²），
当y=0时，x²-2mx-3m²=0，解得x₁=-m，x₂=3m，则B（3m，0），
把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，解得b=-3mk，
则直线y=kx+b的解析式表示为y=kx-3mk，
∵一次函数y=kx-3mk与抛物线只有一个公共点，
∴方程x²-2mx-3m²=kx-3mk有相等的实数解，
方程整理为x²-（2m+k）x-3m²+3mk=0，
∵△=（2m+k）²-4（-3m²+3mk）=0，
∴k=4m，
∴一次函数y=kx+b表示为y=4mx-12m²，
设直线y=kx+b平移后的解析式为y=4mx+n，
把M（m，-4m²）代入得-4m²=-4m²+n，解得n=-8m²，
即经过点D的直线解析式为y=4mx-8m²，
当y=0时，4mx-8m²=0，解得x=2m，则F（2m，0）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx-3{m}^{2}}\\{y=4mx-8{m}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=-4{m}^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5m}\\{y=12{m}^{2}}\end{array}\right.$，则D（5m，12m²）
作AG⊥x轴于E，MG∥x轴，它们相交于点G，如图2，
∵EF∥MG，
∴$\frac{DF}{FM}$=$\frac{DE}{EG}$=$\frac{12{m}^{2}}{4{m}^{2}}$=3．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解一次函数的性质和平移的意义；灵活运用判别式的意义；理解坐标与图形性质．