Question

1．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有4个直角；当t=2时，∠MON的度数为144°，∠BON的度数为114°，∠MOC的度数为60°．
（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；
（3）当0＜t＜6时，探究$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值．

Answer 1

分析 （1）根据两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM，ON的位置，可得∠MON的度数，∠BON的度数以及∠MOC的度数；
（2）分两种情况进行讨论：当0＜t≤7.5时，当7.5＜t＜12时，分别根据∠AOM=3∠AON-60°，列出方程式进行求解，即可得到t的值；
（3）先判断当∠MON为平角时t的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t＜$\frac{10}{3}$时，当$\frac{10}{3}$＜t＜6时，分别计算$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值，根据结果作出判断即可．

解答 解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，

∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
∴图中一定有4个直角；
当t=2时，∠BOM=30°，∠NON=24°，
∴∠MON=30°+90°+24°=144°，∠BON=90°+24°=114°，∠MOC=90°-30°=60°；
故答案为：4；144°，114°，60°；

（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），
当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s），
如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3（90°-12t°）-60°，
解得t=$\frac{10}{7}$；
如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3（12t°-90°）-60°，
解得t=10；
综上所述，当∠AOM=3∠AON-60°时，t的值为$\frac{10}{7}$s或10s；

（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t°+90°+12t°=180°，
解得t=$\frac{10}{3}$，
①如图所示，当0＜t＜$\frac{10}{3}$时，

∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$=$\frac{7（90°-15t°）+2（90°+12t°）}{15t°+90°+12t°}$=$\frac{810°-81t°}{27t+90°}$（不是定值），
②如图所示，当$\frac{10}{3}$＜t＜6时，

∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，
∴$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$=$\frac{7（90°-15t°）+2（90°+12t°）}{270°-27t°}$=$\frac{810°-81t°}{270°-27t°}$=3（定值），
综上所述，当0＜t＜$\frac{10}{3}$时，$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值不是定值，当$\frac{10}{3}$＜t＜6时，$\frac{7∠COM+2∠BON}{∠MON}$的值是3．

点评 本题属于角的计算综合题，主要考查了角的和差关系的运用，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．