Question

【题目】如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．

（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；

（2）当∠C=30°，时，求D，F两点间的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据等腰△ABC的性质，结合EG∥BC，DE∥AC 的性质，等角代换可以证得∠F=∠DEG，得出BF∥DE即可；

（2）作EN⊥BD于N，作FM⊥BD于M，连接DF ，利用（1）中的结论，结合含30°的直角三角形的性质可以得出Rt△FMD中FM、DM的长度，结合勾股定理即可求得．

（1）∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠C，

∵EG∥BC，DE∥AC，

∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，

∴∠DEG=∠C，

∵BE=BF，

∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，

∴∠F=∠DEG，

∴BF∥DE，EF∥BD

∴四边形BDEF为平行四边形；

（2）解：作EN⊥BD于N，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：

∵∠C=30°，AB=AC，四边形BDEF为平行四边形，

∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=∠NBE=∠C=30°，

∴△BDE、△BEF是等腰三角形，

∴BE=DE=BF,

∵EN⊥BD，

∴BN=BD=，

∴EN==1，

∴BF=BE=2EN=2，

∴FM=BF=1，

∴BM=FM=，

∴DM=BM+BD=3，

由勾股定理得：DF===，

即D，F两点间的距离为，

故答案为：．