Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）。

（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）（－6，12）（2）y=－x+4（3）结论：存在。点Q的坐标为：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）

解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，

在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12，∴CF="BF=12" 。  
∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。
∴点B的坐标为（－6，12）。
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，
∵OD=2BD，∴OD=OB。
∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。     
∵，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D（－4，8），E（0，4）。
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）
∴，解得。∴直线DE解析式为y=－x+4。
（3）结论：存在。
点Q的坐标为：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）。
（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。
（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。
（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：

设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，
则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。
①菱形OEP₁Q₁，此时OE为菱形一边。
则有P₁E=P₁Q₁=OE=4，P₁F=EF－P₁E=4－4。
易知△P₁NF为等腰直角三角形，
∴P₁N=NF=P₁F=4－2。
设P₁Q₁交x轴于点N，则NQ₁=P₁Q₁－P₁N=4－（4－2）=2。
又ON=OF－NF=2，∴Q₁（2 ，－2）。
②菱形OEP₂Q₂，此时OE为菱形一边。此时Q₂与Q₁关于原点对称，∴Q₂（－2，2）。
③菱形OEQ₃P₃，此时OE为菱形一边。
此时P₃与点F重合，菱形OEQ₃P₃为正方形，∴Q₃（4，4）。
④菱形OP₄EQ₄，此时OE为菱形对角线。
由菱形性质可知，P₄Q₄为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P₄纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P₄（2，2）。
由菱形性质可知，P₄、Q₄关于OE或x轴对称，∴Q₄（－2，2）。
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为：
Q₁（2，－2），Q₂（－2，2），Q₃（4，4），Q₄（－2，2）。