Question

7．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点E从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点E到达B点时D、E都停止运动．点M是DE的中点，直线MN⊥DE交直线BC于点N，点M′与M点关于直线BC对称．点D、E的运动时间为t（秒）．
（1）当t=1时，AD=2，△ADE的面积为$\frac{4}{5}$；
（2）设四边形BCDE的面积为S，当0＜t＜3时，求S与t的函数关系式；
（3）当△MNM′为等腰直角三角形时，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）由点D的速度得出CD为1，得出AD=2，得出△ADE的面积即可；
（2）根据四边形BCDE的面积=△ABC的面积-△ADE的面积列出关系式即可；
（3）根据△MNM′为等腰直角三角形满足的条件计算即可．

解答 解：（1）∵点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴当t=1时，CD=1，
∴AD=AC-CD=3-1=2，
同理可得AE=1，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴sin∠A=$\frac{4}{5}$，
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}$×1×2×$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}$；
故答案为：2；$\frac{4}{5}$；
（2）设四边形BCDE的面积为S，
当0＜t＜3时，四边形BCDE的面积=△ABC的面积-△ADE的面积
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$×t×（3-t）=6--$\frac{2}{5}$t（3-t）；
即S与t的函数关系式是：S=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{6}{5}$t+6；
（3）当∠EDA=45°时，△MNM′为等腰直角三角形．
则3-t-$\frac{3}{5}$t=$\frac{4}{5}$t，
解得：t=$\frac{5}{4}$．

点评 此题是三角形综合题目，考查了三角形的动点问题、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法等知识；本题综合性强，难度适中．