Question

9．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点P（2，4），与y轴交于点A（0，-4），与x轴交于点C，PB⊥y轴于点B．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A、P的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；再由点P坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）假设设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，画出图形，利用菱形的性质：对角线垂直平分可以找出点D的坐标为（1，8），再验证点D是否在反比例函数图象上即可．

解答 解：（1）将点A（0，-4）、点P（2，4）代入到一次函数y=kx+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4=b}\\{4=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴一次函数表达式为y=4x-4．
将点P（2，4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）中得：
4=$\frac{m}{2}$，解得：m=8．
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$．
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示．

令y=4x-4中y=0，则有0=4x-4，解得：x=1，
∴点C的坐标为（1，0）．
∵四边形BCPD为菱形，
∴BP⊥CD，且CD=2OB，
∵点P（2，4），
∴点B（0，4），OB=4，CD=8，
又∵点C（1，0），
∴点D（1，8）．
将x=1代入反比例函数y=$\frac{8}{x}$中，得：
y=$\frac{8}{1}$=8，
即点D在反比例函数图象上，
∴在反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，点D的坐标为（1，8）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质以及反比例函数与一次函数图象交点的问题，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）由菱形的性质找出点D的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合菱形的性质，找出点D的坐标，再将点D的坐标代入到反比例函数解析式中，验证D点是否在反比例函数图象上．