分析 (1)由点A、P的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式;再由点P坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式;
(2)假设设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,画出图形,利用菱形的性质:对角线垂直平分可以找出点D的坐标为(1,8),再验证点D是否在反比例函数图象上即可.
解答 解:(1)将点A(0,-4)、点P(2,4)代入到一次函数y=kx+b中得:
$\left\{\begin{array}{l}{-4=b}\\{4=2k+b}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-4}\end{array}\right.$,
∴一次函数表达式为y=4x-4.
将点P(2,4)代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$(x>0)中得:
4=$\frac{m}{2}$,解得:m=8.
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$.
(2)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示.
令y=4x-4中y=0,则有0=4x-4,解得:x=1,
∴点C的坐标为(1,0).
∵四边形BCPD为菱形,
∴BP⊥CD,且CD=2OB,
∵点P(2,4),
∴点B(0,4),OB=4,CD=8,
又∵点C(1,0),
∴点D(1,8).
将x=1代入反比例函数y=$\frac{8}{x}$中,得:
y=$\frac{8}{1}$=8,
即点D在反比例函数图象上,
∴在反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,点D的坐标为(1,8).
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质以及反比例函数与一次函数图象交点的问题,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)由菱形的性质找出点D的坐标.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,结合菱形的性质,找出点D的坐标,再将点D的坐标代入到反比例函数解析式中,验证D点是否在反比例函数图象上.
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