Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（$\frac{1}{2}$，2），B（3，n），在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m为常数）的图象上，连接AO并延长与图象的另一支有另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点D（1，0），过点C作CE∥x轴交直线l于点E．
（1）求m的值，并求直线l对应的函数解析式；
（2）求点E的坐标；
（3）过点B作射线BN∥x轴，与AE的交于点M （补全图形），求证：tan∠ABN=tan∠CBN．

Answer 1

分析 （1）将点A（$\frac{1}{2}$，2）代入y=$\frac{m}{x}$求出m的值，再将A（$\frac{1}{2}$，2），D（1，0）分别代入y=kx+b，求出k、b的值；
（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为C（-$\frac{1}{2}$，-2），由y_E=y_C求出E点坐标．
（3）作AF⊥BN于点G，与射线BN交于点G，作CH⊥BN 于点H，由于点B（3，n）在反比例函数图象上，求出n=$\frac{1}{3}$，在Rt△ABG中、Rt△BCH中，求出tan∠ABH和tan∠CBH的值即可．

解答 解：（1）∵点A（$\frac{1}{2}$，2）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m为常数）的图象上，
∴m=$\frac{1}{2}$×2=1．
∴反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m为常数）对应的函数表达式是y=$\frac{1}{x}$．
设直线l对应的函数表达式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0）．
∵直线l经过点A（$\frac{1}{2}$，2），D（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}k+b=2\\ k+b=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-4\\ b=4\end{array}\right.$，
∴直线l对应的函数表达式为y=-4x+4． 
（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为C（-$\frac{1}{2}$，-2）．
∵CE∥x轴交直线l于点E，
∴y_E=y_C．
∴点E的坐标为E（$\frac{3}{2}$，-2）．
（3）如图，作AF⊥BN于点G，与射线BN交于点G，作CH⊥BN 于点H，
∵点B（3，n）在反比例函数图象上，
∴n=$\frac{1}{3}$，
∴B（3，$\frac{1}{3}$），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$），H（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）．
在Rt△ABG中，tan∠ABH=$\frac{AG}{BG}$=$\frac{2-\frac{1}{3}}{3-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
在Rt△BCH中，tan∠CBH=$\frac{CH}{BH}$=$\frac{\frac{1}{3}+2}{3+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠ABN=tan∠CBN．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数的性质、三角函数的定义等知识，值得关注．