Question

已知△ABC的面积为18，有一边上的高为3，则三角形的周长最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：根据题意画出图形，由面积为18，高为3，得到三角形此边长，作直线l与BC所在的直线平行，两平行线间的距离为3，作出B关于直线l的对称点B′，连接CB′，与直线l的交点为A，则AB+AC=AB′+AC=B′C，根据两点之间线段最短，此时△ABC的周长最小，在Rt△BCB′中，由BC及BB′的长，利用勾股定理求出CB′的长即为AB+AC的最小值，进而求出最小的周长．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
作出B关于直线l的对称点B′，连接CB′，与直线l交于点A，作AD⊥BC，
由BC=12，△ABC的面积为18，
根据

3AD

2

=18，
得到BC边长为12，
则BE=B′E=AD=3，BB′=6，
此时AB+AC=AB′+AC=B′C，△ABC的周长最小，
在直角三角形BCB′中，根据勾股定理得：B′C=

BB′2+BC2

=

62+122

=6

5

，
则AB+AC=6

5

所以△ABC的最小周长为：6

5

+12．
故答案为：6

5

+12．

点评：此题考查了轴对称中最短路线的问题，涉及的知识有对称的性质，三角形的面积公式以及勾股定理，根据对称的性质确定出三角形周长最小时满足的图形，找出点B关于直线l的对称点B′，再根据两点之间线段最短得到B′C即为AB+AC的最小值是解本题的关键．