Question

已知关于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若抛物线y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．

Answer 1

解：（1）当k=-1时，方程-4x-4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；
当k≠-1时，方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0是一元二次方程，
△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²．
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．
综上，无论k取任意实数，方程总有实数根．

（2），x₁=-1，x₂=．
∵方程的两个根是整数根，且k为正整数，
∴只存在两种情况：①当k=1时，方程的两根为-1，0；
②当k=3时，方程的两根为-1，-1．
∴正整数k的值是1或3．

（3）∵抛物线y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，
∴x₁-x₂=3，或x₂-x₁=3．
当x₁-x₂=3时，k=-3；
当x₂-x₁=3时，k=0．
综上，k=0，-3．
分析：（1）分别讨论k=-1和k≠-1的情况，即可判断出方程根的情况；
（2）首先根据因式分解求出方程的两个根，然后根据方程的根是整数根，求出k的值即可；
（3）根据抛物线y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，分别讨论x₁-x₂=3或x₂-x₁=3两种情况，求出k的值即可．
点评：本题主要考查抛物线与x轴的交点问题的知识，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系等知识，此题难度不大．