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    16．在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（-1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．
    （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
    （2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；
    （3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．

    分析 （1）由旋转，平移得到C（1，1），用待定系数法求出抛物线解析式；
    （2）先判断出△BEF∽△BAO，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；
    （3）先由平移得到A1B1的解析式为y=2x+2-t，A1B1与x轴交点坐标为（$\frac{t-2}{2}$，0）．C1B2的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+t+$\frac{1}{2}$，C1B2与y轴交点坐标为（0，t+$\frac{1}{2}$），再分两种情况进行计算即可．

    解答 解：（1）∵A（0，2）、B（-1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD，
    ∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°．
    ∴C（1，1）．
    设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
    则有$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ a+b+c=1\\ c=2\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$
    ∴抛物线解析式为y=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x+2，
    （2）如图1所示，

    设直线PC与AB交于点E．
    ∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，
    ∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$或$\frac{AE}{BE}$=3，
    过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA．
    ∴△BEF∽△BAO，
    ∴$\frac{EF}{AO}=\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BO}$．
    ∴当$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$时，$\frac{EF}{2}=\frac{3}{4}=\frac{BF}{1}$，
    ∴EF=$\frac{3}{2}$，BF=$\frac{3}{4}$，
    ∴E（-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$）
    ∴直线PC解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{7}{5}$，
    ∴-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{7}{5}$，
    ∴x1=-$\frac{2}{5}$，x2=1（舍去），
    ∴P（-$\frac{2}{5}$，$\frac{39}{25}$），
    当$\frac{AE}{BE}=3$时，同理可得，P（-$\frac{6}{7}$，$\frac{23}{49}$）．

    （3）设△ABO平移的距离为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S．
    由平移得，A1B1的解析式为y=2x+2-t，A1B1与x轴交点坐标为M（$\frac{t-2}{2}$，0）．
    C1B2的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+t+$\frac{1}{2}$，C1B2与y轴交点坐标为N（0，t+$\frac{1}{2}$）．
    ∴点C1的坐标为（1-2t，1），点D1的坐标为（1-2t，0）．
    当点C1在线段A1B1上时，重叠部分从四边形变成三角形，
    把点C1的坐标代入直线A1B1的解析式y=2x+2-t中，得t=$\frac{3}{5}$；
    当点D1在线段A1B1上时，就没有重叠部分了，
    把点D1的坐标代入直线A1B1的解析式y=2x+2-t中，得t=$\frac{4}{5}$，
    ①当0＜t＜$\frac{3}{5}$时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．
    Ⅰ、如图2，当C1D1在y轴右侧时，即0＜t＜$\frac{1}{2}$时，重叠部分是现四边形ONQM，
    设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ．
    由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+2-t\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+t\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4t-3}{3}\\ y=\frac{5t}{3}\end{array}\right.$，
    ∴Q（$\frac{4t-3}{3}$，$\frac{5t}{3}$）．
    ∴S=S△QMO+S△QON
    =$\frac{1}{2}$×$\frac{2-t}{2}$×$\frac{5t}{3}$+$\frac{1}{2}$×（t+$\frac{1}{2}$）×$\frac{3-4t}{3}$
    =-$\frac{13}{12}$t2+t+$\frac{1}{4}$
    =-$\frac{13}{12}$（t-$\frac{6}{13}$）2+$\frac{25}{52}$．
    ∵0＜t≤$\frac{1}{2}$，
    ∴当t=$\frac{6}{13}$时，S的最大值为$\frac{25}{52}$．
    Ⅱ、如图4，当C'D'在y轴左侧，即：$\frac{1}{2}$≤t＜$\frac{3}{5}$时，点C'在△A'MO内部，其重叠部分是四边形C'QMD'，
    同（Ⅰ）的方法得出：Q（$\frac{4t-3}{3}$，$\frac{5t}{3}$）．
    ∴S=S△QMD'+S△QON
    =$\frac{1}{2}$×[$\frac{2-t}{2}$-（2t-1）]×$\frac{5t}{3}$+$\frac{1}{2}$×1×[$\frac{3-4t}{3}$-（2t-1）]
    =-$\frac{25}{12}$t2+1
    ∵$\frac{1}{2}$≤t＜$\frac{3}{5}$，
    ∴当t=$\frac{1}{2}$时，S最大=$\frac{23}{48}$
    ∴S＜$\frac{23}{48}$＜$\frac{25}{52}$

    ②如图3所示，

    当$\frac{3}{5}$≤t＜$\frac{4}{5}$时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形．
    设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G．
    ∴G（1-2t，4-5t），
    ∴D1H=$\frac{2-t}{2}$+1-2t=$\frac{4-5t}{2}$，D1G=4-5t．
    ∴S=$\frac{1}{2}$D1H×D1G=$\frac{1}{2}$×$\frac{4-5t}{2}$×（4-5t）=$\frac{1}{4}$（5t-4）2．
    ∴当$\frac{3}{5}$≤t＜$\frac{4}{5}$时，S的最大值为$\frac{1}{4}$．
    综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为$\frac{25}{52}$．

    点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形相似的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是分类计算，也是本题的难点．

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    （1）求抛物线的解析式；
    （2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
    （3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．

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    项目类型频数频率
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    围棋类140.28
    喜剧类80.16
    国画类b0.20
    根据以上信息完成下列问题：
    （1）直接写出频数分布表中a的值；
    （2）补全频数分布条形图；
    （3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？

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