【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足 = ,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.
(1)求证:△ADF∽△AED;
(2)求FG的长;
(3)求证:tan∠E= .
【答案】①证明见解析;
②2;
③证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由垂径定理可得弧AC=弧AD,根据等弧所对的圆周角相等,可得∠ADF=∠AED,,根据两角对应相等的两个三角形相似的判定定理,即可证得△ADF∽△AED;
(2)根据 = ,CF=2,可得FD=6,故可得CD的长,根据垂径定理即可求得CG的长,再根据CG-CF即可得FG的长。
(3)在Rt△AGF中由勾股定理求得AG的长,根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等的性质,可知∠E=∠ADF,再根据三角函数定义即可证得tanE的值.
解:①∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴DG=CG,
∴弧AD=弧AC,∠ADF=∠AED,
∵∠FAD=∠DAE(公共角),
∴△ADF∽△AED;
②∵=,CF=2,
∴FD=6,
∴CD=DF+CF=8,
∴CG=DG=4,
∴FG=CG﹣CF=2;
③∵AF=3,FG=2,∴AG=,
tan∠E=.
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【题目】某文具店老板第一次用1000元购进一批文具,很快销售完毕;第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2 5元.老板用2500元购进了第二批文具,所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍,同样很快销售完毕,两批文具的售价均为每件15元.
(1)问第二次购进了多少件文具?
(2)文具店老板第一次购进的文具有3% 的损耗,第二次购进的文具有5% 的损耗,问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本?请说明理由.
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【题目】已知:矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点M、N分别在边AB、CD上,直线MN交矩形对角线 AC于点E,将△AME沿直线MN翻折,点A落在点P处,且点P在射线CB上.
(1)如图1,当EP⊥BC时,求CN的长;
(2) 如图2,当EP⊥AC时,求AM的长;
(3) 请写出线段CP的长的取值范围,及当CP的长最大时MN的长.
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【题目】在一次晚会上,大家做投飞镖的游戏.只见靶子设计成如图的形式.已知从里到外的三个圆的半径分别为l,2,3,并且形成A,B,C三个区域.如果飞镖没有停落在最大圆内或只停落在圆周上,那么可以重新投镖.
(1)分别求出三个区域的面积;
(2)雨薇与方冉约定:飞镖停落在A、B区域雨薇得1分,飞镖落在C区域方冉得1分.你认为这个游戏公平吗? 为什么? 如果不公平,请你修改得分规则,使这个游戏公平.
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【题目】如图①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在AE的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.
(1)求证: BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图②位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请给予证明;
(3)若直线AE绕A点旋转到图③位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.
(4)根据以上的讨论,请用简洁的语言表达BD与DE,CE的数量关系。
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°, BC∥x轴,抛物线y=ax2-2ax+3经过△ABC的三个顶点,并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接CD,在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形,若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是边AD的中点,N是AB上一动点(不与A、B重合),将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A1MN,连接A1C,画出点N从A到B的过程中A1的运动轨迹,A1C的最小值为_____.
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【题目】如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,则下列结论:①DE=DF;②AD平分∠BAC;③AE=AD;④AC﹣AB=2BE中正确的是_____.
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【题目】同学们,我们知道图形是由点、线、面组成,结合具体实例,已经感受到“点动成线,线动成面”的现象,下面我们一起来进一步探究:
(概念认识)
已知点和图形 ,点 是图形上任意一点,我们把线段长度的最小值叫做点与图形 之 间的距离.
例如,以点为圆心,为半径画圆如图1,那么点 到该圆的距离等于;若点是圆上一点,那么点 到该圆的距离等于;连接,若点为线段中点,那么点到该圆的距离等于,反过来,若点到已知点的距离等于,那么满足条件的所有点就构成了以点为圆心,为半径的圆.
(初步运用)
(1)如图 2,若点到已知直线的距离等于,请画出满足条件的所有点.
(深入探究)
(2)如图3,若点到已知线段的距离等于,请画出满足条件的所有点.
(3)如图 4,若点到已知正方形的距离等于,请画出满足条件的所有点.
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