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(2003•常德)如图,O是坐标原点,A是X轴上的一点,C是Y轴上的一点,OB是以A圆心的半圆的直径,BD∥AC交半圆于D,其BD=2,
(1)当A、C的坐标分别为(x,0),(0,y)时,请用x的代数式表示y;
(2)当A点的坐标为(2,0)时,求过C、D两点,顶点在直线x=2上的抛物线的解析式;
(3)在所求的抛物线上是否存在点P,使得S△POB=2S△OAD

【答案】分析:(1)可通过构建相似三角形来求解,连接OD,那么根据A,C的坐标可得,OB=2x,OC=y,那么通过相似三角形OCA和DOB可得出关于OD,OA,BD,OB的比例关系,即可得出用x表示y的代数式.
(2)当A的坐标为2时,即x=2,然后代入(1)中各线段的表达式中,不难得出C,D两点的坐标,那么根据抛物线的顶点在x=2上,那么可用顶点式来设二次函数,然后将C,D的坐标代入即可得出抛物线的解析式.
(3)可先求出三角形POB的面积,由于OB的长为定值,因此可求出P点的纵坐标的绝对值,由于(2)的抛物线与x轴没有交点且开口向上,因此P的纵坐标为正值,然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中,即可求出P点的坐标.
解答:解:(1)由A(x,0),可得:B(2x,0);
所以,OA=x,OB=2x,BD=2.
连接OD,则有:OD⊥BD;由勾股定理可得:OD=2
因为,BD∥AC,
所以,∠OAC=∠DBO;
而且,∠AOC=90°=∠BDO,可得:△OAC∽△DBO;
所以,=
可求得:OC=x
由C(0,y),可得:y=x

(2)由A(2,0),利用(1)中求得的各线段表达式,
容易求得:C(0,2),D(3,).
设所求的顶点在直线x=2上的抛物线的解析式为y=a(x-2)2+b;
抛物线过C、D两点,将C、D两点坐标代入,
可求得:a=,b=
代入抛物线的解析式,
可得:y=x2-x+2

(3)设使得S△POB=2S△OAD的点P坐标为(m,n),
则有:S△POB=2n,2S△OAD=2
所以,2n=2
解得:n=
点P在抛物线上,得:n=m2-m+2
将n=代入,
可求得:m=1或m=3.
所以,存在这样的点P,其坐标为(1,)或(3,).
点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用,通过构建相似三角形得出x,y的关系式是解题的关键.
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