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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=
    3
    5
    ，动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B 运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．设运动时间为t，
    （1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；
    （2）当GF运动到△ABC外时，EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的
    1
    4
    ？
    （3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．
    分析：（1）根据题意作辅助线，然后根据相似三角形比例关系即可得出t的值；
    （2）根据题意将三角形面积用t表示出来，然后解方程即可；
    （3）分两种情况讨论得出答案．
    解答：解：过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．
    ∵AB=10，sinB=
    3
    5
    ，
    ∴AM=ABsinB=6，
    ∵DE∥BC，
    ∴△ADE∽△ABC，
    ∴
    AD
    AB
    =
    DE
    BC
    =
    AN
    AM
    ，即
    t
    10
    =
    DE
    12
    =
    AN
    6
    ，
    ∴DE=
    6
    5
    t，AN=
    3
    5
    t，MN=6-
    3
    5
    t．精英家教网

    （1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，
    DE=DG=MN，即
    6
    5
    t=6-
    3
    5
    t，
    ∴t=
    10
    3
    ，
    ∴当t=
    10
    3
    时，正方形DEFG的边GF在BC上；

    （2）当GF运动到△ABC外时，如图2，精英家教网
    S△CEP+S△BDQ=
    1
    2
    PC•PE+
    1
    2
    BQ•DQ=
    1
    2
    (PC+BQ)MN
    =
    1
    2
    (BC-DE)MN=
    1
    2
    (12-
    6
    5
    t)(6-
    3
    5
    t)
    S△ABC=
    1
    2
    BC•AM=
    1
    2
    ×12×6=36
    令
    1
    2
    （12-
    6
    5
    t）（6-
    3
    5
    t）=
    1
    4
    ×36，
    解得t1=15（舍去），t2=5，
    ∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的
    1
    4
    ；

    （3）分两种情况：
    ①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图3，精英家教网
    S=DE2=（
    6
    5
    t）2=
    36
    25
    t2，此时t的范围是0≤t≤
    10
    3
    ，
    当t=
    10
    3
    时，S的最大值为16．
    ②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
    如图2，S=DE•MN=
    6
    5
    t（6-
    3
    5
    t）=-
    18
    25
    t2+
    36
    5
    t，此时t的范围是
    10
    3
    ＜t≤10，
    ∵-
    18
    25
    ＜0，∴当t=5时，S的最大值为18，
    ∵18＞16，∴S的最大值为18．
    点评：本题主要考查了作辅助线、相似三角形的证明及性质、二次函数最值及正方形的性质，难度较大．
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    （　　）
    A、
    1
    2
    B、（
    		2
    2
    ）7
    C、
    1
    4
    D、
    1
    8

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