【题目】如图,现有一张边长为8的正方形纸片,点为边上的一点(不与点、点重合),将正方形纸片折叠,使点落在处,点落在处,交于,折痕为,连结、.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)当时,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)PH=.
【解析】
(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案;
(2)首先过B作BQ⊥PH,垂足为Q,易证得△ABP≌△QBP,进而得出△BCH≌△BQH,即可得出AP+HC=PH.
(3)首先设AE=x,则EP=8-x,由勾股定理可得:在Rt△AEP中,AE2+AP2=PE2,即可得方程:x2+22=(8-x)2,即可求得答案AE的长,易证得△DPH∽△AEP,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
(1)证明:∵PE=BE,
∴∠EPB=∠EBP,
又∵∠EPH=∠EBC=90°,
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP.
即∠BPH=∠PBC.
又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC,
∴∠APB=∠PBC.
∴∠APB=∠BPH.
(2)证明:过B作BQ⊥PH,垂足为Q,
由(1)知,∠APB=∠BPH,
在△ABP与△QBP中,
,
∴△ABP≌△QBP(AAS),
∴AP=QP,BA=BQ.
又∵AB=BC,
∴BC=BQ.
又∵∠C=∠BQH=90°,
∴△BCH和△BQH是直角三角形,
在Rt△BCH与Rt△BQH中,
,
∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL),
∴CH=QH,
∴AP+HC=PH.
(3)解:∵AP=2,
∴PD=AD-AP=8-2=6,
设AE=x,则EP=8-x,
在Rt△AEP中,AE2+AP2=PE2,
即x2+22=(8-x)2,
解得:x=,
∵∠A=∠D=∠ABC=90°,
∴∠AEP+∠APE=90°,
由折叠的性质可得:∠EPG=∠ABC=90°,
∴∠APE+∠DPH=90°,
∴∠AEP=∠DPH,
∴△DPH∽△AEP,
∴,
∴,
解得:DH=.
∴PH=
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【题目】如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
(1)求∠BCD的度数.
(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)
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【题目】一张长方形桌子可坐6人,按图3将桌子拼在一起.
(1)2张桌子拼在一起可坐 人,4张桌子拼在一起可坐 人,n张桌子拼在一起可坐 人;
(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子,按照上图的方式每5张拼成1张大桌子,则40张桌子可拼成8张大桌子,共可坐多少人?
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【题目】《如果想毁掉一个孩子,就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章.国际上,法国教育部宣布从 2018 年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机.为了解学生手机使用情况,某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动,他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查,并绘制成如图①,②的 统计图,已知“查资料”的人数是 40人.请你根据以上信息解答下列问题:
(1)在扇形统计图中,“玩游戏”对应的百分比为______,圆心角度数是______度;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有学生2100人,估计每周使用手机时间在2 小时以上(不含2小时)的人数.
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【题目】如图,正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上(点P与A、C不重合),QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.
(1)①求证:AP=CQ;②求证:PA2=AFAD;
(2)若AP:PC=1:3,求tan∠CBQ.
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【题目】在平面宜角坐标系xOy中,直线y=x+4与x轴,y轴交于点A,B.第一象限内有一点P(m,n),正实数m,n满足4m+3n=12
(1)连接AP,PO,△APO的面积能否达到7个平方单位?为什么?
(2)射线AP平分∠BAO时,求代数式5m+n的值;
(3)若点A′与点A关于y轴对称,点C在x轴上,且2∠CBO+∠PA′O=90°,小慧演算后发现△ACP的面积不可能达到7个平方单位.请分析并评价“小薏发现”.
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【题目】某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价300元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:①买一套西装送一条领带;②西装和领带的定价打9折付款.现有某客户要到该服装厂购买西装50套,领带条().
(1)若该客户按方案一购买,需付款______元.(用含的代数式表示),若该客户按方案二购买,需付款______元.(用含的代数式表示)
(2)若该客户购买西装50套,领带60条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算;
(3)若该客户购买西装50套,领带200条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AH⊥BC于点H,过点C作CD⊥AC,连接AD,点M为AC上一点,且AM=CD,连接BM交AH于点N,交AD于点E.
(1)若AB=3,AD=,求△BMC的面积;
(2)点E为AD的中点时,求证:AD=BN .
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