Question

【题目】已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．

（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．

（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．

（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m的取值范围m>-2.5

【解析】

（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；

（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；

（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p<g<r 即可列出关于m的不等式组，求解即可。

（1）解：抛物线与x轴有2个交点。理由如下：

∵m≠0，∴b2-4ac =（2m）2-4×1×0=4m2>0．

∴抛物线与x轴有2个交点

（2）解：∵点A（-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上

∴抛物线的对称轴x=

∴ =2,即m=-2．

∴抛物线的表达式为y=x2-4x．

∴点A（0，0），点B（4，0）或点A（4，0），点B（0，0），点M（2，-4）

∴△ABM的面积为×4×4=8

（3）解：方法一（图象法）：

∵抛物线y=x2+2mx的对称轴为x=-m，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．

当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．

此时，-m<2，即m>-2．

当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．

即m>-2.5．

综上所述，m的取值范围m>-2.5

方法二（代数法）：

由已知得，p=4+4m，g=9+6m，r=16+8m．

∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m＞-2.5.