考点:四边形综合题,勾股定理,菱形的性质,相似图形
专题:几何综合题,压轴题,分类讨论
分析:(1)根据勾股定理即可求得AB,根据面积公式求得AB与CD之间的距离.
(2)当4≤x≤10时,运动过程分为三个阶段,需要分类讨论,避免漏解:
①当4≤x≤5时,如答图1-1所示,此时点Q与点O重合,点P在线段BC上;
②当5<x≤9时,如答图1-2所示,此时点Q在线段OB上,点P在线段CD上;
③当9<x≤10时,如答图1-3所示,此时点Q与点B重合,点P在线段CD上.
(3)有两种情形,需要分类讨论,分别计算:
①若PQ∥CD,如答图2-1所示;
②若PQ∥BC,如答图2-2所示.
解答:解:(1)∵菱形
ABCD中,AC=6cm,
BD=8cm,
∴AC⊥BD,
∴AB=
=
=5,
设AB与CD间的距离为h,
∴△ABC的面积S=
AB•h,
又∵△ABC的面积S=
S
菱形ABCD=
×
AC•BD=
×6×8=12,
∴
AB•h=12,
∴h=
=
.
(2)设∠CBD=∠CDB=θ,则易得:sinθ=
,cosθ=
.
①当4≤x≤5时,如答图1-1所示,此时点Q与点O重合,点P在线段BC上.
∵PB=x,
∴PC=BC-PB=5-x.
过点P作PH⊥AC于点H,则PH=PC•cosθ=
(5-x).
∴y=S
△APQ=
QA•PH=
×3×
(5-x)=-
x+6;
②当5<x≤9时,如答图1-2所示,此时点Q在线段OB上,点P在线段CD上.
PC=x-5,PD=CD-PC=5-(x-5)=10-x.
过点P作PH⊥BD于点H,则PH=PD•sinθ=
(10-x).
∴y=S
△APQ=S
菱形ABCD-S
△ABQ-S
四边形BCPQ-S
△APD=S
菱形ABCD-S
△ABQ-(S
△BCD-S
△PQD)-S
△APD=
AC•BD-
BQ•OA-(
BD•OC-
QD•PH)-
PD×h
=
×6×8-
(9-x)×3-[
×8×3-
(x-1)•
(10-x)]-
(10-x)×
=-
x
2+
x-
;
③当9<x≤10时,如答图1-3所示,此时点Q与点B重合,点P在线段CD上.
y=S
△APQ=
AB×h=
×5×
=12.
综上所述,当4≤
x≤10时,
y与
x之间的函数解析式为:
y=
| -x+6(4≤x≤5) | -x2+x-(5<x≤9) | 12(9<x≤10) |
| |
.
(3)有两种情况:
①若PQ∥CD,如答图2-1所示.
此时BP=QD=x,则BQ=8-x.
∵PQ∥CD,
∴
=,
即
=,
∴x=
;
②若PQ∥BC,如答图2-2所示.
此时PD=10-x,QD=x-1.
∵PQ∥BC,
∴
=,
即
=,
∴x=
.
综上所述,满足条件的x的值为
或
.
点评:本题是运动型综合题,考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.本题第(2)(3)问均需分类讨论,这是解题的难点;另外,试题计算量较大,注意认真计算.