Question

任何一个单位分数

1

n

都可以写成两个单位分数的和：

1

n

= 

1

p

+

1

q

（n，p，q都是正整数），显然，这里的p，q都大于n．如果设p=n+a，q=n+b，那么有

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

．
（1）探索上式中的正整数a，b与正整数n之间存在什么样的关系（写出推理过程）；
（2）写出

1

6

等于两个单位分数之和的所有可能情况．

Answer 1

分析：（1）把等式

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

去分母化简即可得到关于正整数a，b与正整数n之间存在的关系；
（2）利用（1）的结果ab=n²，n=36，可找到a，b的所有值，再由已知条件可把

1

6

写成两个单位分数之和．

解答：解：（1）∵

1

n

=

1

n+a

+

1

n+b

，
∴（n+a）（n+b）=n（n+a）+n（n+b），
∴n²+nb+an+ab=n²+na+n²+nb，
∴ab=n²；

（2）由（1）知ab=n²，n=6，
∴ab=36，
∴a=1，2，3，4，6；
∴相对应的b=36，18，12，9，6，
∴

1

6

=

1

7

+

1

42

=

1

8

+

1

24

=

1

9

+

1

18

=

1

10

+

1

15

=

1

12

+

1

12

．

点评：本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．