Question

如图1是边长分别为4

3

和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起．
（1）固定△ABC，将△CDE绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE、CE的延长线交AB于点F（图2），线段BE与AD之间有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）固定△CDE，将△ABC移动，使顶点C落在CE的中点G，边BG交DE于点M，边AG交DC于点N，求证：CN•EM=EG•CG；
（3）将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图4）；探究：设△PQR移动时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由△ABC、△DEC是等边三角形可以得出DC=EC，AC=BC，由旋转可以得出∠ACD=∠BCE，从而可以得出△BCE≌△ACD，就可以得出BE=AD．
（2）由△ABC、△DEC是等边三角形可以得出∠E=∠C=∠AGB=60°，可以得出∠EGM+∠EMG=120°，∠EGM+∠NGC=120°，可以得出∠EMG=∠NGC，从而得出△EGM∽△CNG，就可以得出一个比利式，转化为等积式就可以了．
（3）由条件可以得出∠ACF=30°，可以得出∠QTC=30°，得出CQ=QT=x，可以表示出RT=3-x，SR=

1

2

（3-x），ST=

3

2

（3-x），就可以求出S_△SRT=

1 2 (3-x)• 3 2 (3-x)

2

=

3

8

(3-x)2，就可以用S_△PQR-S_△SRT=y，求出解析式．

解答：（1）解：BE=AD．
证明：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．

（2）证明：∵△ABC、△DEC是等边三角形，
∴∠E=∠C=∠AGB=60°，
∴∠EGM+∠EMG=120°，∠EGM+∠NGC=120°，
∴∠EMG=∠NGC，
∴△EGM∽△CNG，
∴

EG

CN

=

EM

CG

∴CN•EM=EG•CG．

（3）解：如图4，在△CQT中，由旋转得∠TCQ=30°．
∵△RPQ是等边三角形，
∴∠RPQ=∠SRT=60°，
∴∠QTC=∠RTS=30°，
∴∠QTC=∠QCT，∠RST=90°
∴QT=QC=x．
∴RT=3-x，
∴SR=

1

2

（3-x），在Rt△SRT中，由勾股定理，得
ST=

3

2

（3-x），
∴S_△SRT=

1 2 (3-x)• 3 2 (3-x)

2

=

3

8

(3-x)2，
∵S_△RPQ=

3× 3 2 3

2

=

9

4

3

，
∴y=

9

4

3

-

3

8

(3-x)2
y=

9

4

3

-

3

8

(9-6x+x2)
y=-

3

8

x2+

3

4

3

x+

9

8

3

（0≤x≤3）

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质．