Question

20．如图，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在M处，以M为旋转中心，旋转三角尺、三角尺的两直角边与与△POQ的两直角边分别交于点A、B．
（1）求证：MA=MB．
（2）探究在旋转三角尺的过程中OA+OB与PO的大小关系，并说明理由．
（3）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB面积的最大值及△AOB周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）连接OM，证明△AMO≌△BMQ，得到OA=QB，所以OP=OQ=OB+BQ=OB+OA．
（3）根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，设OA=x，表示出AE为2-x，即BF的长度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍表示出AB的长度，然后根据三角形的周长公式列式判断出△AOB的周长随AB的变化而变化，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值，然后解答即可．

解答 解：（1）如图1，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，

∵∠O=90°，
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=$\frac{1}{2}$OQ=2，MF=$\frac{1}{2}$OP=2，
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠BMF}\\{ME=MF}\\{∠AEM=∠BFM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB
（2）OA+OB=OP
如图2，连接MO，

在Rt△POQ中，
∵OP=OQ，M是PQ中点，
∴OM⊥PQ，
∴∠OMP=90°
即∠OMA+AMP=90°，
∵∠AMB=90°，
∴∠BMQ+∠AMP=90°，
∴∠OMA=∠BMQ
在Rt△POQ中，由勾股定理得PQ=4$\sqrt{2}$，PM=QP=$\frac{1}{2}$PQ=$\sqrt{2}$，
在△POM中，∵∠OMP=90°，∠P=45°，
∴∠POM=45°，
∴OM=PM=QM=2$\sqrt{2}$，
在△AMO与△BMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=BM}\\{∠OMA=∠BMQ}\\{OM=QM}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△BMQ（SAS），
∴OA=QB，
∴OP=OQ=OB+BQ=OB+OA．

（3）根据（1）中的△AME≌△BMF得到：AE=BF，
设OA=x，则AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM=$\sqrt{A{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{（2-x）^{2}+{2}^{2}}$，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（2-x）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$，
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$x•（4-x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+4，
∴当x=2时，即点A为OP的中点时，△AOB的面积有最大值，最大值为4．
△AOB的周长=OA+OB+AB=x+（4-x）+$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$=4+$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$，
所以，当x=2，即点A为OP的中点时，△AOB的周长有最小值，最小值为4+$\sqrt{8}$，即4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，以及二次函数的最值问题，作出辅助线，把动点问题转化为固定的三角形，构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．