Question

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意△CEF的面积是△ABC的面积的

1

2

，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出；
（2）根据相似三角形对应边成比例，用CE表示出CF的长度，再根据周长相等列出等式，解方程即可．

解答：解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等，
∴S_△ECF：S_△ACB=1：2，
又∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB，
∴

S△ECF

S△ACB

=(

CE

CA

)2=

1

2

，且AC=4，
∴CE=2

2

；

（2）设CE的长为x，
∵△ECF∽△ACB，
∴

CE

CA

=

CF

CB

，∴CF=

3

4

x，
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得：
x+EF+

3

4

x=(4-x)+5+(3-

3

4

x)+EF
解得x=

24

7

，∴CE的长为

24

7

．

点评：本题利用相似三角形面积的比等于相似比的平方和相似三角形对应边成比例求解．