【题目】已知抛物线y=x2+bx+c,经过点B(﹣4,0)和点A(1,0),与y轴交于点C.
(1)确定抛物线的表达式,并求出C点坐标;
(2)如图1,抛物线上存在一点E,使△ACE是以AC为直角边的直角三角形,求出所有满足条件的点E坐标;
(3)如图2,M,N是抛物线上的两动点(点M在点的N左侧),分别过点M,N作PM∥x轴,PN∥y轴,PM,PN交于点P.点M,N运动时,始终保持MN=不变,当△MNP的两条直角边长成二倍关系时,请直接写出直线MN的表达式.
【答案】(1)y=x2+3x﹣4,C(0,﹣4);(2)E(﹣,﹣)或E(﹣,);(3)MN的解析式为或.
【解析】
(1)将点B(﹣4,0)和点A(1,0)代入函数解析式即可求解;
(2)分两种情况:当CE⊥AC时,设CE的解析式为y=kx﹣4,求出E的坐标(k﹣3,k2﹣3k﹣4),再由勾股定理可求k的值;⊥AC时,则∥CE,设的解析式为y=-x+m,即可求出点坐标;
(3)分两种情况:设P(s,t),当AP=2MP时,M(s﹣1,t),N(s,t+2),可得(s﹣1)2+3(s﹣1)﹣4=t,s2+3s﹣4=t+2,求出s=0,t=﹣,进而求出M(﹣1,﹣6),N(0,﹣4),利用待定系数法即可求MN的直线解析式;当MP=2AP时,M(s﹣2,t),N(s,t+1),可得(s﹣2)2+3(s﹣2)﹣4=t,s2+3s﹣4=t+1,求出s=﹣,t=﹣,进而求出M(﹣,﹣),N(﹣,﹣),利用待定系数法即可求MN的解析式.
(1)∵点B(﹣4,0)和点A(1,0)在抛物线上,
∴,
解得,
∴,
∴点C的坐标为(0,﹣4);
(2)当CE⊥AC时,
设CE的解析式为y=kx﹣4,
∴,
得:,
∴x=0(舍)或x=k﹣3,
∴点E的坐标为(k﹣3,k2﹣3k﹣4),
AC2==17,
EA2=(k﹣3-1)2+(k2﹣3k﹣4)2,EC2=(k﹣3)2+(k2﹣3k-4+4)2,
∵AC2+EC2=EA2,
∴17+(k﹣3)2+(k2﹣3k)2=(k﹣4)2+(k2﹣3k﹣4)2,
解得:k=3(舍去),k=-,
∴点E的坐标为(﹣,﹣);
当⊥AC时,
∵CE⊥AC,
∴∥CE,
设的解析式为y=-x+m,
点A(1,0)在直线上,
∴,
∴,
解得:x=1(舍去)或x,
∴,
∴点的坐标为(﹣,);
综上,点E的坐标为(﹣,﹣)或(﹣,);
(3)设P(s,t),
当NP=2MP时,
∵MN=,且,
∴MP=1,NP=2,
∴M(s﹣1,t),N(s,t+2),
∵M、N在抛物线上,
∴(s﹣1)2+3(s﹣1)﹣4=t,s2+3s﹣4=t+2,
解得:s=0,t=﹣,
∴M(﹣1,﹣6),N(0,﹣4),
设直线MN的解析式为,
则,
解得:,
∴直线MN的解析式为y=2x﹣4;
当MP=2AP时,
∵MN=,
同理:MP=2,AP=1,
∴M(s﹣2,t),N(s,t+1),
∵M、N在抛物线上,
∴(s﹣2)2+3(s﹣2)﹣4=t,s2+3s﹣4=t+1,
∴s=﹣,t=﹣,
∴M(﹣,﹣),N(﹣,﹣),
设直线MN的解析式为,
则,
解得:,
∴直线MN的解析式为y=x;
综上所述:MN的解析式为或.
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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1,其中正确的是()
A.①④⑤B.①③④⑤C.①③⑤D.①②③
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【题目】某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动,通过对学生的随机抽样调查得到一组数据,如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图.
(1)把折线统计图补充完整;
(2)求出扇形统计图中,公务员部分对应的圆心角的度数;
(3)若从被调查的学生中任意抽取一名,求取出的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率.
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【题目】学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息, 分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为 米/分钟;
(2)求出线段所表示的函数表达式;
(3)当甲,乙相距1000米时,直接写出的值.
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【题目】某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动,为了解全校植树情况,对该校甲、乙、丙、
丁四个班级植树情况进行了调查,将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图,请根据图中的信息,完成下列问题:
(1)这四个班共植树 棵;
(2)请你在答题卡上补全两幅统计图;
(3)求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若四个班级植树的平均成活率是95%,全校共植树2000棵,请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵?
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【题目】设抛物线与x轴交于两个不同的点A(-1,0)、B(m,0),与y轴交于点C.且∠ACB=90°.
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)已知点D(1,n )在抛物线上,过点A的直线交抛物线于另一点E.若点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似,求点P的坐标.
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【题目】问题探究
(1)如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,则线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ;
(2)如图②,在△ADC中,AD=2,CD=4,∠ADC是一个不固定的角,以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC,连接BD,则BD的长是否存在最大值?若存在,请求出其最大值;若不存在,请说明理由;
问题解决
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,BC=4,若BD⊥CD,垂足为点D,则对角线AC的长是否存在最大值?若存在,请求出其最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A,B的坐标;
(2)若M为对称轴与x轴交点,且DM=2AM.
①求二次函数解析式;
②当t﹣2≤x≤t时,二次函数有最大值5,求t值;
③若直线x=4与此抛物线交于点E,将抛物线在C,E之间的部分记为图象记为图象P(含C,E两点),将图象P沿直线x=4翻折,得到图象Q,又过点(10,﹣4)的直线y=kx+b与图象P,图象Q都相交,且只有两个交点,求b的取值范围.
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【题目】在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B均为格点.
(Ⅰ)AB的长等于_____.
(Ⅱ)若点C是以AB为底边的等腰直角三角形的顶点,点D在边AC上,且满足S△ABD=S△ABC.请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段BD,并简要说明点D的位置是如何找到的(不要求证明)______.
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