Question

17．在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：“如图，BD是矩形ABCD的对角线，将AB沿BE折叠，使A点落在BD上的点G处，将边CD沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处，求证：四边形BEDF是平行四边形”．小丽选择了先证明△DEG≌△BFH，再证明DE=BF，进而得到四边形BEDF是平行四边形，小明向老师提出了另一种证明方法．
（1）小丽证明四边形BEDF是平行四边形的依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）按小明的想法写出证明过程；
（3）当学生们完成了证明后，老师又提出如下问题，连接EH，FG，若AB=6，BC=8，试求四边形EGFH的周长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，∠A=∠C=90°，得出∠EDG=∠FBH，由折叠的性质得：∠EGB=∠A=90°，GB=AB，HD=CD，得出∠DGE=∠BHF=90°，DG=BH，由ASA证明△DEG≌△BFH，得出DE=BF，即可得出结论；
（2）由翻折的性质可知：∠ABE=∠DBE═$\frac{1}{2}∠ABD$，EG=EA，FH=FC，∠BDF═∠CDF=$\frac{1}{2}∠CDB$．由矩形的性质得出∠ABD=∠CDB，得出∠DBE=∠BDF，证出BE∥DF，即可得出结论；
（3）连接EH、GF，由勾股定理得出BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10，证出DG=BD-GB=4，设AE=x，则DE=8-x，EG=AE=x，在Rt△DGE中，由勾股定理得出方程，解方程得出AE=3，同理FH=3，由（1）得：EG=FH，证出四边形EGFH是平行四边形，得出EG=FH=3，求出GH=2，在Rt△EGH中，由勾股定理求出EH，即可得出答案．

解答 （1）解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，∠A=∠C=90°，
∴∠EDG=∠FBH，
由折叠的性质得：∠EGB=∠A=90°，GB=AB，HD=CD，
∴∠DGE=∠BHF=90°，DG=BH，
在△DEG和△BFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠BHF}&{\;}\\{DG=BH}&{\;}\\{∠EDG=∠FBH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFH（ASA），
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：由翻折的性质可知：∠ABE=∠DBE═$\frac{1}{2}∠ABD$，EG=EA，FH=FC
∠BDF═∠CDF=$\frac{1}{2}∠CDB$．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠DBE=∠BDF，
∴BE∥DF，
又DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
（3）解：连接EH、GF，如图所示：
∵∠A=90°，AD=BC=8，AB=6，GB=AB=6，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∴DG=BD-GB=4，
设AE=x，则DE=8-x，EG=AE=x，
在Rt△DGE中，由勾股定理得（8-x）²=x²+4²，
解得x=3，
∴AE=3，
同理FH=3，
由（1）得：EG=FH，
∵EG⊥BD，FH⊥BD，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，EG=FH=3，
∵BG=DH=6，
∴DG=BH=4，
∴GH=2，
在Rt△EGH中，$EH=\sqrt{E{G^2}+G{H^2}}=\sqrt{{3^2}+{2^2}}=\sqrt{13}$，
四边形EGFH的周长为$2\sqrt{13}+6$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．