Question

5．如图，四边形ABCD为正方形，EB∥AC，EC=AC，E在FB上，求∠ECB的度数．

Answer 1

分析 过点C作CF⊥BE，垂足为F．设正方形的边长为a，可求得EC=AC=$\sqrt{2}a$，然后再证明△BCF为等腰直角三角形，可求得CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，利用特殊锐角三角函数值可求得∠CEB=30°，然后依据∠ECB=∠CBF-∠CEB求解即可

解答 解：过点C作CF⊥BE，垂足为F．

设正方形的边长为a，依据勾股定理可知AC=$\sqrt{2}a$，则CE=$\sqrt{2}$a．
∵ABCD为正方形，BE∥AC，
∴∠CBF=∠ACB=45°．
∴△BFC为等腰直角三角形．
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△CFE中，sin∠CEF=$\frac{1}{2}$，
∴∠CEF=30°．
∵∠CEB+∠EBC=∠CBF=45°，
∴∠ECB=15°．

点评 本题主要考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．