Question

已知：如图，Rt的顶点P在正方形ABCD的边AB上，∠MPN=90°，PN经过点C，PM与AD交于点Q．

（1）在不添加字母和辅助线的情况下，图中△APQ∽△            ；

（2）若P为AB的中点，联结CQ，求证：AQ+BC=CQ；

（3）若时，试探究线段PC与线段PQ的数量关系，并加以证明.

 

Answer 1

解：（1）．

（2）证明：

延长QP交CB的延长线于点E．

∵P为AB中点，

∴PA=PB.

∵ABCD是正方形，

∴∠QAP=∠PBC=∠EBP=90°.

∵∠APQ=∠EPB，

∴≌.

∴AQ=BE,PQ=PE.

∵∠MPN=90°，

∴CP⊥QE.

∴CE=CQ.

∴BE+BC=CQ.

∴AQ+BC=CQ．

（3）当时，有PC=2PQ．

证明：∵ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°.

AD=BC=AB.

∴∠3+∠2=90°.

∵∠MPN=90° .

∴∠1+∠2=180°-∠MPN=90°.

∴∠1=∠3．

∴∽

∴．

∵AQ==，

∴.

∴.

∴.

∴.

∴PC=2PQ．