Question

8．如图，BC是以AD为直径的⊙O的切线，AB⊥BC，DC⊥BC．在下列哪种情况下，四边形ABCD的面积是整数（　　）

• A． AB=9，CD=4
• B． AB=7，CD=3
• C． AB=5，CD=2
• D． AB=3，CD=1

Answer 1

分析 首先由切线的性质可知OF⊥BC，从而可证明OF为梯形的中位线，然后再△AED中利用勾股定理表示出DE的长，然后可得到四边形ABCD的面积的关系式，然后将AB、CD的值代入即可．

解答 解：如图所示．连接切点F与圆心O，连接ED．

∵BC是圆O的切线，
∴OF⊥BC．
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥OF∥DC．
又∵AO=DO，
∴FO=$\frac{1}{2}（DC+AB）$．
∴AD=2OF=DC+AB．
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°．
∴∠DEB=∠B=∠C=90°．
∴四边形BCDE为矩形．
∴DE=BC．
在Rt三角形AED中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（AB+CD）^{2}-（AB-CD）^{2}}$
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}×DE（AB+CD）$=$\frac{1}{2}×（AB+CD）$$\sqrt{（AB+CD）^{2}-（AB-CD）^{2}}$
当AB=9，CD=4时，四边形的面积=$\frac{1}{2}×13×\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}=\frac{1}{2}×13×12$=78是整数符合题意．
当AB=7，CD=3时，四边形的面积=$\frac{1}{2}×10×\sqrt{1{0}^{2}-{4}^{2}}$=10$\sqrt{21}$，不是整数，不合题意．
当AB=5，CD=2时，四边形的面积=$\frac{1}{2}×7×\sqrt{{7}^{2}-{3}^{2}}$=7$\sqrt{10}$，不是整数，不合题意．
当AB=3，CD=1时，四边形的面积=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．不是整数，不合题意．
故选；A．

点评 本题主要考查的是切线的性质、矩形的性质和判定、梯形的中位线的定理、勾股定理的应用，用含AB、CD的式子表示四边形的面积是解题的关键．