Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥AC于E；
（2）求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据过直线外一点作直线垂线的作法即可画出图形；
（2）设DE=x，则AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，跟进吧AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC可得出BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x，再由S_△ACD=$\frac{AC•DE}{2}$=$\frac{CD•AB}{2}$求出x的值即可．

解答 解：（1）方法1，如图1所示，过点D作AC的垂线即可；
方法2：运用角平分线的性质，以点D为圆心，BD的长为半径画圆，⊙D和AC相切于点E，连接DE即可．
（2）方法一：设DE=x，则AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x．
∵S_△ACD=$\frac{AC•DE}{2}$=$\frac{CD•AB}{2}$，
∴$\frac{5x}{2}$=$\frac{3（4-x）}{2}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴DE=x=$\frac{3}{2}$．
方法二：设DE=x，则AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x．
∵∠DEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{5}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴DE=x=$\frac{3}{2}$．
方法三：设DE=x，则AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x．
∵在Rt△ABC中，sin∠C=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△DEC中，sin∠C=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{x}{4-x}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{x}{4-x}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴DE=x=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知过直线外一点作直线垂线的作法是解答此题的关键．