Question

17．正方形ABCD的边长是8cm，对角线AC、BD相交于O．有一个动点M在射线OC上以1cm/s的速度运动，运动的时间为t（s）．连接DM，过A作直线DM的垂线，垂足为E，AE交射线OD于N．
（1）当t=a时，M到达C点，a=4$\sqrt{2}$；
（2）当t＜a时，如图（1），求证：ON=OM；
（3）当t＞a时，如图（2），用含t的式子表示AN的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD的边长是8cm，即可求得OC的长，又由动点M在射线OC上以1cm/s的速度运动，运动的时间为t（s），当t=a时，M到达C点，求得a=OC；
（2）由四边形ABCD是正方形，AE⊥DM，即可利用AAS判定△AON≌△DOM，继而判定ON=OM；
（3）由四边形ABCD是正方形，AE⊥DM，即可利用AAS判定△AON≌△DOM，继而求得ON=OM=t，然后由勾股定理求得AN的长．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长是8cm，
∴AC=8$\sqrt{2}$cm，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=4$\sqrt{2}$cm，
∵动点M在射线OC上以1cm/s的速度运动，运动的时间为t（s），M到达C点，
∴t=4$\sqrt{2}$，
∴a=t=4$\sqrt{2}$；
故答案为：4$\sqrt{2}$；

（2）当t＜a时，如图（1）：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，AC⊥BD，
∴∠AON=∠DOM=90°，∠OAN+∠ANO=90°，
∵AE⊥DM，
∴∠OAN+∠DMO=90°，
∴∠ANO=∠DMO，
在△AON和△DOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AON=∠DOM}\\{∠ANO=∠DMO}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△DOM（AAS），
∴ON=OM；

（3）当t＞a时，如图（2）：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，AC⊥BD，
∴∠AON=∠DOM=90°，∠OAN+∠ANO=90°，
∵AE⊥DM，
∴∠OAN+∠DMO=90°，
∴∠ANO=∠DMO，
在△AON和△DOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AON=∠DOM}\\{∠ANO=∠DMO}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△DOM（AAS），
∴ON=OM=t，
∴AN=$\sqrt{O{A}^{2}+O{N}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{32+{t}^{2}}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意证得△AON≌△DOM是解此题的关键．