Question

如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置．
（1）求过C、B、A三点的二次函数的解析式；
（2）若（1）中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知，C、B、A三点的坐标分别为：C（-3，0）、B（0，3）、A（1，0）；
设二次函数的解析式为y=a（x-1）（x+3），依题意，有：
a（0-1）（0+3）=3，解得：a=-1
故过C、B、A三点的二次函数的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）△MDC是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式：y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，则M（-1，4）；
易知：C（-3，0）、D（0，1），则：
MC²=（-1+3）²+（4-0）²=20，MD²=（-1-0）²+（4-1）²=10，CD²=（-3-0）²+（0-1）²=10
则MC²=MD²+CD²，且MD=CD，
因此△MDC为等腰直角三角形．
分析：（1）△OCD是由△OBA旋转所得，因此OB=OC、OA=OD，所以由OA、OB的长，即可得出A、B、C、D四点的坐标，利用待定系数法即可求出过C、B、A三点的二次函数的解析式．
（2）由（1）的二次函数解析式不难求出顶点M的坐标，在已知M、C、D三点坐标的情况下，由坐标系两点间的距离公式可求出MD、CD、MC三边的长，再由三边长来判断△MCD的形状．
点评：此题考查的内容较为简单，主要涉及旋转图形的性质、利用待定系数法确定二次函数的解析式以及等腰直角三角形的判定；（2）的解法较多，也可过M作y轴的垂线，通过构建全等三角形来解．