Question

【题目】如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作交AB于点F，连接DB交于点H，E是BC上的一点，且，连接DE．

（1）求证：DE是的切线．

（2）若，，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的半径为．

【解析】

（1）如图1，连接DF，先根据菱形的性质和SAS证明△DAF≌△DCE，得，再由AD是圆的直径得∠AFD=90°，于是∠DEC=90°，然后利用可得∠ADE=90°，问题即得证明；

（2）如图2，连接AH，先根据等腰三角形三线合一的性质得出，再由DF是和的公共的直角边，根据勾股定理列出关于AD的方程，解方程即可求出AD的长，进一步即可求出圆的半径.

（1）证明：如图1，连接DF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴，，，

∵，∴，即，

∴≌，∴.

∵AD是的直径，∴，∴.

∵，∴，∴.

∵OD是的半径，∴DE是的切线；

（2）解：如图2，连接AH，

∵AD是的直径，∴，∴，

∵，，∴，

在和中，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴的半径为．