Question

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.

（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大.若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)直线的解析式为y=x-3，抛物线解析式为；
(2)①t=,②t=；(3)存在，理由见解析.

试题分析：（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式．
（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论：
①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值；
②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值；
③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．
（3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，以DF为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标．
试题解析：
∵直线y=kx-3过点A（4，0），∴0=4k-3，解得k=．
∴直线的解析式为y=x-3．
由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0，-3)．
∴，解得m=．
∴抛物线解析式为
（2）对于抛物线，
令y=0，则，解得x₁=1，x₂=4．
∴B(1，0).
∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.
①若∠Q₁P₁A=90°,则P₁Q₁∥OC（如图1），

∴△AP₁Q₁∽△AOC.
∴,∴．解得t=；
②若∠P₂Q₂A=90°,∵∠P₂AQ₂=∠OAC，∴△AP₂Q₂∽△AOC.
∴,∴．解得t=；
综上所述，当t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似．
（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）.

∴S_△ADF=DF·AE，S_△CDF=DF·OE．
∴S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF=DF×(AE+OE)=×4(DE+EF)=2×()=．
∴S_△ACD=（0<x<4）．
又0<2<4且二次项系数，∴当x=2时，S_△ACD的面积最大．
而当x=2时，y=．
∴满足条件的D点坐标为D(2,)．