Question

10．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

Answer 1

分析 （1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$即可求出结果；
（2）先把B（4，n）代入y=$\frac{4}{x}$得到B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b求得一次函数的解析式为；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$得：m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$；

（2）把B（4，n）代入y=$\frac{4}{x}$得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-x+5；

（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，
则AB′的长度就是PA+PB的最小值，
由作图知，B′（4，-1），
∴直线AB′的解析式为：y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
当y=0时，x=$\frac{17}{5}$，
∴P（$\frac{17}{5}$，0）．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．