Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的顶点M的坐标；（用a的代数式表示）
（2）直线y=x+d经过C、M两点，并且与x轴交于点D．
①求抛物线的函数表达式；
②若四边形CDAN是平行四边形，且点N在抛物线上，则点N的坐标为（______，______）；
③设点P是抛物线对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由于抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过A（-1，0）、B（3，0），则有：

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得

b=-2a c=-3a

；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
∴M（1，-4a）；

（2）①由（1）知：C（0，-3a）；
∴直线y=x+d中，d=-3a，即y=x-3a；
∵直线y=x-3a经过M（1，-4a），
则有：1-3a=-4a，a=-1；
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
②由①的抛物线知：C（0，3），M（1，4），对称轴为x=1；
若四边形CDAN是平行四边形，则CN∥x轴，
∴C、N关于抛物线的对称轴对称，
即N（2，3）；
③存在符合条件的P点，且P（1，2

6

-4）
易知A（-1，0），B（3，0），M（1，4）；
由①可得直线CM的解析式为y=x+3，则D（-3，0）；
设抛物线的对称轴x=1与x轴的交点为Q，⊙P与直线CD的切点为E，连接PE、PA；
根据圆和抛物线的对称性知，圆心P必在抛物线的对称轴上，可设PE=PA=m；
∵在Rt△DMQ中，DQ=MQ=4，
∴△MDQ是等腰Rt△，∠DMQ=45°；
在Rt△PME中，PE=m，∠EMP=∠DMQ=45°，则PM=

2

m；
在Rt△PAQ中，PA=m，AQ=

1

2

AB=2，则PQ=

m2-4

；
由于MQ=MP+PQ=4，即：

2

m+

m2-4

=4，
解得m=4

2

-2

3

；
∴

2

m=8-2

6

，4-

2

m=2

6

-4；
即P（1，2

6

-4）．