Question

7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF，连接EF．
（1）猜想AE、BF、EF之间存在何种等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点E、F分别在AC、CB的延长线上，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出你认为正确的结论．

Answer 1

分析 （1）过点A作AM∥BC，交FD的延长线与点M，证△ADM≌△BDF得AM=BF、DM=DF，又∠EDF=90°根据中垂线性质知ED=EF，在RT△EAM中根据勾股定理可得；
（2）过点A作AN∥BF，交FD延长线与点N，连接EN、EF，证△ADN≌△BDF得BF=AN、DN=DF，又∠EDF=90°根据中垂线性质知EF=EN，在RT△AEN中由勾股定理可得．

解答 解：（1）AE²+BF²=EF²，
如图1，过点A作AM∥BC，交FD的延长线与点M，

∴∠AMD=∠BFD，∠ADM=∠BDF，
∵∠C=90°，
∴∠EAM=90°，
又∵RT△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB的中点，
∴AD=BD，
在△ADM和△BDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠BFD}\\{∠ADM=∠BDF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDF（AAS），
∴AM=BF，DM=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴ED=EF，
∵在RT△EAM中，AE²+AM²=EM²，
∴AE²+BF²=EF²；
（2）（1）中结论依然成立，
如图2，过点A作AN∥BF，交FD延长线与点N，连接EN、EF，

∴∠NAD=∠FBD，∠ADN=∠BDF，
∵AN∥BF，∠ACB=90°，D为斜边AB中点，
∴∠NAE=90°，AD=BD，
在△ADN和△BDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠NAD=∠FBD}\\{AD=BD}\\{∠ADF=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△BDF（ASA），
∴BF=AN，DN=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴EF=EN，
在RT△AEN中，∵AN²+AE²=NE²，
∴BF²+AE²=EF²．

点评 本题主要考查三角形全等的判定和性质，过点A作BF的平行线来构建全等三角形是关键．