Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
小题1:求NC，MC的长（用t的代数式表示）
小题2:当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
小题3:当t为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分？并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．

Answer 1

小题1:∵AQ=3﹣t，
∴CN=4﹣（3﹣t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM===，CM=；（3分）
小题2:由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4﹣t=t，
解得t=2，
则当t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；（6分）
小题3:∵NC=t+1，MN=，
∴S_△MNC=×4×3，…（8分）
∴（1+t）²=8，
∴t₁=2﹣1，t₂=﹣2﹣1（舍）…（9分）
∴当t=2﹣1时，△ABC的面积被射线QN平分．…（10分）
当t=﹣2﹣1时，MC+NC=+1+t=≠（3+4+5），
∴此时△ABC的周长不被射线QN平分．…（12分）

（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC﹣BN=BC﹣AQ=BC﹣AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解，然后在直角三角形ABC中，由AB与BC的长根据勾股定理可求CA=5，从而得到cos∠NCM==，而cos∠NCM也等于，最后把表示出的CN代入即可表示出CM；
（2）四边形PCDQ构成平行四边形，根据平行四边形的对边相等得到PC=DQ，列出方程4﹣t=t即解；
（3）根据QN平分△ABC的面积，得到三角形CMN的面积等于三角形ABC面积的一半，根据三角形的面积公式，利用表示出的CN与MN的值表示出三角形CMN的面积，让其等于三角形ABC面积的一半，得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，然后把t的值代入表示出的MC与NC中，求出两线段的和，再根据AB、AC与BC的值求出三角形ABC的周长的一半，看与MC和NC两线段的和是否相等，从而判断出此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．