Question

已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8）．
（1）直接写出点C的坐标为：C（

 

，

 

）；
（2）已知直线AC与双曲线y=

m

x

(m≠0)在第一象限内有一交点Q为（5，n）；
①求m及n的值；
②若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式，并求当t取何值时S=10．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点C的坐标；
（2）①设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将A（10，0）、C（0，8）两点代入其中，即利用待定系数法求一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征，将点Q代入函数关系式求得n值；最后将Q点代入双曲线的解析式，求得m值；
②分类讨论：当0≤t≤5时，OP=10-2t；当5＜t≤9时，OP=2t-10．

解答：解：（1）C（0，8）…（3分）

（2）①设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），过A（10，0）、C（0，8）

10k+b=0 k•0+b=8

，
解得：

k=- 4 5 b=8

∴直线AC的解析式为y=-

4

5

x+8…（5分）
又∵Q（5，n）在直线AC上，
∴n=-

4

5

×5+8=4，…（6分）
又∵双曲线y=

m

x

(m≠0)过Q（5，4），
∴m=5×4=20…（7分）
②当0≤t≤5时，OP=10-2t，…（8分）
过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图1
∵Q（5，4），∴QD=4，
∴S=

1

2

(10-2t)×4=20-4t，…（9分）
当S=10时，20-4t=10
解得t=2.5…（10分）
当5＜t≤9时，OP=2t-10，…（11分）
过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图2
∵Q（5，4），∴QE=5，
∴S=

1

2

(2t-10)×5=5t-25，…（12分）
当S=10时，5t-25=10
解得t=7
综上，S=

20-4t，(0≤t≤5) 5t-25，(5＜t≤9)

，
当t=2.5秒或t=7秒时，S=10．…（13分）

点评：此题主要考查反比例函数综合题．注意解（2）②时，要分类讨论，以防漏解．