Question

设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有，．
利用此知识解决：是否存在实数m，使关于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：首先设x₁与x₂是方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根，根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=-（m+1），x₁•x₂=m+4，又由关于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2，则可求得m的值，△≥0，即可求得满足条件的m的值．
解答：解：存在．
∵设x₁与x₂是方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根，
∴x₁+x₂=-（m+1），x₁•x₂=m+4，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=[-（m+1）]²-2（m+4）=2，
即m²=9，
解得：m=±3，
∵△=[-（m+1）]²-4（m+4）=m²-2m-15≥0，
∴m=-3．
∴满足条件的m的值为：-3．
点评：此题考查了根与系数的关系与判别式．此题难度适中，注意掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-，x₁x₂=．